Question

18．已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连结DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连结EC，AG．
（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．
（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD=4，DG=$\sqrt{2}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）依题意补全图形，如图1所示，
（2）由旋转得到∠GDA=∠EDC，判断出△AGD≌△CED，得出∠AFH=∠HDC=90°即可；
（3）由正方形的线段得到MD=MG=1，再根据勾股定理计算即可．

解答 证明：（1）
①依题意补全图形，如图1所示，

②AG=CE，AG⊥CE．
证明思路如下：

由正方形ABCD，可得AD=CD，∠ADC=90°，
由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE
∴∠GDA=∠EDC．
∵DG=DE，AD=CD，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．
延长CE分别交AG、AD于点F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°
∴AG⊥CH．
（2）当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．

过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=$\sqrt{2}$，
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG=$\sqrt{A{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{26}$
∴CE=AG=$\sqrt{26}$
当点G在线段BD上时，如图4所示．

过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=$\sqrt{2}$，
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG=$\sqrt{A{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴CE=AG=$\sqrt{10}$
故CE的长为$\sqrt{26}$或$\sqrt{10}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，判定三角形全等是解本题的关键．