题目内容

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=
 
；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CF=
1
2
BD，EF=
1
2
BD，CF=EF，于是得k=1；
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．得
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
，△BCG∽△ACE．所以
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2
，GB=DE．在Rt△ECG中，CF=
1
2
EG，BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：当AD=
1
3
AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大为2+3
5
，最小值为3
5
-2．情况2：当AD=
2
3
AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大值为4+3
5
，最小值为为 3
5
-4．再综合情况1与情况2即可．
解答：解：（1）∵DE⊥AB于E，F为BD中点．
∴CF=
1
2
BD，EF=
1
2
BD，
∴CF=EF．
∵CF=kEF，
∴k=1；      
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=
1
2
，

∴
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2
．
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=
1
2
EG，
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD=
1
3
AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，

∴AC=12，AB=6
5
．
∵M为AB中点，∴CM=3
5
，
∵AD=
1
3
AC，
∴AD=4．
∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=
1
2
AD=2．
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+3
5
．
同理最小值为3
5
-2．
情况2：如图，当AD=
2
3
AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
5
．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
5
．
同理最小值为 3
5
-4．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质．综合性较强，有一定难度，注意第（3）题分情况讨论．
练习册系列答案
相关题目
计算：
（1）（3
12
-2
1
3
+
48
）÷2
3
；
（2）先化简，再求(
x+2
x2-2x
-
x-1
x2-4x+4
)÷
x-4
x
值，其中x=
1
2
-1
．
先化简，再求值：
x
x+2
÷
x2-x
x2+4x+4
-
x
x-1
，其中x=
3
+2．
用适当的方法解下列方程：
（1）x2+x-2=0；                    
（2）x-3=x（x-3）
解方程：
（1）
x-5
x-3
-
x+1
x-1
=0；
（2）
1
x+3
-
2
3-x
=
1
x2-9
．
已知2a+1的平方根是±5，3a-b+9的算术平方根是7，求a-6b的平方根．
计算：|-2|-4sin45°-（
1
2
）-1+2
2
-（
3
-
2
）．
如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于
 
．
把多项式ax2-2ax+a分解因式的结果是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网