Question

4．在同一直角坐标系中，直线y=-x+3与y=3x-5相交于C点，分别与x轴交于A、B两点．P、Q分别为直线y=-x+3与y=3x-5上的点．
（1）求△ABC的面积；
（2）若P、Q关于原点成中心对称，求P点的坐标；
（3）若△QPC≌△ABC，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令y=-x+3与y=3x-5中y=0求出x值，即可得出点A、B的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）由点P在直线y=-x+3上，设点P（m，-m+3），由P、Q关于原点对称，由此可找出Q（-m，m-3），由点Q的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可找出关于m的一元一次方程，解方程求出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论；
（3）由△QPC≌△ABC可得出CQ=CA，设点Q的坐标为（n，3n-5），由CQ=CA可得出$\sqrt{（n-2）^{2}+（3n-5-1）^{2}}$=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，解之即可得出n的值，将其代入点Q的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）依照题意画出图形，如图1所示．
令y=-x+3中y=0，则x=3，
∴A（3，0）；
令y=3x-5中y=0，则x=$\frac{5}{3}$，
∴B（$\frac{5}{3}$，0）；
联立两直线解析式成方程组，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=3x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴C（2，1）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•y_C=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{5}{3}$）×1=$\frac{2}{3}$．
（2）∵点P在直线y=-x+3上，
∴设P（m，-m+3），
∵P、Q关于原点成中心对称，
∴Q（-m，m-3）．
∵点Q在直线y=3x-5上，
∴m-3=-3m-5，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）．
（3）依照题意画出图形，如图2所示．
∵△QPC≌△ABC，
∴CQ=CA．
设点Q的坐标为（n，3n-5），
则有$\sqrt{（n-2）^{2}+（3n-5-1）^{2}}$=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，
解得：n=2+$\frac{\sqrt{5}}{5}$或n=2-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴点Q的坐标为（2+$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）或（2-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、全等三角形的判定以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）求出点A、B、C的坐标；（2）由一次函数图象上点的坐标特征找出关于m的一元一次方程；（3）由CQ=CA找出关于n的方程．