Question

20．如图1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AE=2BE
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．求证：DF-EF=$\sqrt{2}$AF；
（3）请你在备用图中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据AE=2BE，由题意得出BC=2BE，得出BC=AE，由平行四边形的性质得出即可；
（2）在DP上截取DH=EF，连结AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD=∠FAE，AH=AF，得出∠FAH═90°，由等腰直角三角形的性质得出FH=$\sqrt{2}$AF，即可得出结论；
（3）①当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，在PD的延长线上截取DH=EF，连结AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD=∠FAE，AH=AF，得出∠FAH=90°，由等腰直角三角形的性质得出FH=$\sqrt{2}$AF，即可得出结论；
②当P为EC延长线上任意一点（P不与点E重合）时，在PD的延长线上截取DH=EF，连结AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD=∠FAE，AH=AF，得出∠FAH═90°，由等腰直角三角形的性质得出FH=$\sqrt{2}$AF，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵E为BC的中点，
∴BC=2AE，
∵AE=2BE，
∴AE=BC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD=AE；
（2）在DP上截取DH=EF，连结AH，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°，
∵EF⊥PD，∠AGD=∠EGF，
∴∠ADH=∠AEF，
在△ADH和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADH=∠AEF}\\{DH=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，
∴∠FAH═90°，
在Rt△FAH中，AH=AF
∴$FH=\sqrt{2}AF$，
∴$FH=FD-HD=FD-EF=\sqrt{2}AF$，
即：$DF-EF=\sqrt{2}AF$；
（3）分两种情况：
①当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，$DF+EF=\sqrt{2}AF$；理由如下：
在PD的延长线上截取DH=EF，连结AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°，
∵EF⊥PD，
∴∠EFD=90°，
∴∠AEF+∠ADF=180°，
∴∠ADH=∠AEF，
在△ADH和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADH=∠AEF}\\{DH=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，
∴∠FAH=90°，
在Rt△FAH中，AH=AF，HF=$\sqrt{2}$AF，HF=DH+DF=EF+DF，
即：DF+EF=$\sqrt{2}$AF；
②当P为EC延长线上任意一点（P不与点E重合）时，
$EF-FD=\sqrt{2}AF$，理由如下：
在PD的延长线上截取DH=EF，连结AH，如图3所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD=90°，∠ADH=∠P，
∵EF⊥PD，
∴∠EFP=90°，
∴∠P+∠PEF=∠PEF+∠AEF=90°，
∴∠ADH=∠AEF，
在△ADH和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADH=∠AEF}\\{DH=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，
∴∠FAH═90°，
在Rt△FAH中，AH=AF，HF=$\sqrt{2}$AF，HF=DH-DF=EF-DF，
即：EF-DF=$\sqrt{2}$AF．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．