Question

已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m-3）²=-

n-4

；
（1）求A、B的坐标；
（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S_△AOE=

1

3

S_△AOB，求E的坐标．
（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后写出点A、B的坐标即可；
（2）设点E的横坐标为a，然后利用三角形的面积列式求出a的值，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求解即可；
（3）根据平移的性质可得AB∥OC，AC∥OB，根据平行线的性质可得∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，然后根据角平分线的定义可得∠EAF=

1

2

∠CAE，∠EOF=

1

2

∠COE，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）由非负数的性质得，m-3=0，n-4=0，
解得m=3，n=4，
所以，A（0，3）B（4，0）；

（2）设点E的横坐标为a，
∵S_△AOE=

1

3

S_△AOB，
∴

1

2

×3（-a）=

1

3

×

1

2

×3×4，
解得a=-

4

3

，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

b=3 4k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
所以，直线AB的解析式为y=-

3

4

x+3，
当x=-

4

3

时，y=-

3

4

×（-

4

3

）+3=1+3=4，
所以，点E的坐标为（-

4

3

，4）；

（3）由平移的性质，AB∥OC，AC∥OB，
∴∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，
∵OF平分∠COE，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=

1

2

∠CAE，∠EOF=

1

2

∠COE，
由三角形的内角和定理，∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF，
∠OEB+

1

2

∠CAE=∠F+

1

2

∠COE，
∴∠F=∠OEB+

1

2

∠CAE-

1

2

∠COE=∠OEB+

1

2

∠CAE-

1

2

∠OEB=

1

2

（∠CAE+∠OEB），
∵∠ABO+∠OEB=α，
∴∠F=

α

2

．

点评：本题考查了坐标与图形性质，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理列出方程．