Question

10．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，连接DE．
（1）试判定△ADE的形状，并说明理由；
（2）求△DCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出△ACE≌△ABD得出AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°，得出△ADE是等边三角形，
（2）由△ADE是等边三角形，因此DE=AD=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x，由勾股定理得出方程，解方程求出DH，由勾股定理求出EH，即可得出△DCE的面积．

解答 解：（1）由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，
∴AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°．
∴DE=5．
∴AE=AD=DE=5，
∴△ADE是等边三角形，
（2）作EH⊥CD垂足为H．
设DH=x．
由勾股定理得：EH²=CE²-CH²=DE²-DH²，
即6²-（4-x）²=5²-x²，
解得：x=$\frac{5}{8}$，
∴DH=$\frac{5}{8}$，
由勾股定理得：EH=$\sqrt{D{E}^{2}-D{H}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{8}）^{2}}=\frac{15}{8}\sqrt{7}$，
∴△DCE的面积=$\frac{1}{2}$CD×EH=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，由勾股定理求出DH，EH是解决问题的关键．