Question

19．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为11$\sqrt{3}$，则△BEF的面积为5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AC，过B作EF的垂线，由题意△ABC是等边三角形，易得△ABC的面积，高BN和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而MN又是△ACD以AC为底的高的一半，可得MN，易得BM，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．

解答 解：如图，连接AC，作BM垂直EF于M，交AC于N．

∵AE=ED，DF=FC，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵BM⊥EF，
∴BM⊥AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=BC=AC=6，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD的面积为11$\sqrt{3}$，
∴S_△ADC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC：S_△ADC=9：2，
∴BN：MN=9：1，
∵BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴S_△EFB=$\frac{1}{2}$•EF•BM=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{3}$
故答案为$5\sqrt{3}$；

点评 此题主要考查了等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．