Question

18．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，动点E从点A出发自终点B运动，过点E作DE⊥AC交AC于点D，点A关于ED的对称点为点P，点P落在射线AC上，过点E作EF⊥BC交BC于点F，连接PE，PF；设AE=5x．
（1）则DE=3x，AD=4x（用x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，△EFP是等腰三角形？
（3）如图2，当点E关于直线FP的对称点E'恰好落在射线AC上时，则$\frac{{S}_{△EPF}}{{S}_{△EPA}}$的值为$\frac{5}{8}$．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，证出DE∥BC，由平行线得出△ADE∽△ACB，得出$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即可得出答案；
（2）由对称的性质得出PD=AD=4x，证明四边形CDEF是矩形，得出EF=DC=4-4x，CF=DE=3x，分情况讨论：①当FP=FE=4-4x时，在Rt△PCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当PE=PF时，PC=PD=4x，得出方程4-8x=4x，解方程即可；
③当EP=EF=4-4x时，在Rt△PDE中，求出EP=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，得出方程4-4x=5x，解方程即可；
（3）由得出的性质得出四边形EFE'P是菱形，得出EP=EF，由（2）③得：x=$\frac{4}{9}$，再由三角形面积公式即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{DE}{3}=\frac{AD}{4}$=$\frac{5x}{5}$=x，
∴DE=3x，AD=4x，
故答案为：3x，4x；

（2）∵点A关于ED的对称点为点P，
∴PD=AD=4x，
∵EF⊥BC，DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=DC=4-4x，CF=DE=3x，
分情况讨论：
①当FP=FE=4-4x时，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（3x）²+（4-8x）²=（4-4x）²，
解得：x=$\frac{32}{57}$，或x=0（舍去），
∴x=$\frac{32}{57}$；
②当PE=PF时，PC=PD=4x，
又∵PC=4-8x，
∴4-8x=4x，
解得：x=$\frac{1}{3}$；
③当EP=EF=4-4x时，
在Rt△PDE中，EP=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，
∴4-4x=5x，
解得：x=$\frac{4}{9}$；
综上所述：当x为$\frac{32}{57}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{4}{9}$时，△EFP是等腰三角形；

（3）当点E关于直线FP的对称点E'恰好落在射线AC上时，四边形EFE'P是菱形，如图所示：
∴EP=EF，由（2）③得：x=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△EPF}}{{S}_{△EPA}}$=$\frac{\frac{1}{2}（4-4x）•3x}{\frac{1}{2}•8x•3x}$=$\frac{4-4x}{8x}$=$\frac{1-x}{2x}$=$\frac{1-\frac{4}{9}}{2×\frac{4}{9}}$=$\frac{5}{8}$；
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．