Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，过点B作BM⊥GF，垂足为M，BM交AC于点N，连接BG，CE，下列结论中，不正确的是（　　）

• A． BG=CE
• B． BG⊥CE
• C． S_{正方形ABDE}＞S_{四边形ANMG}
• D． BC²=CF•FM

Answer 1

分析 设CE，BG交于H，根据正方形的性质得到AB=AE，AG=AC，∠EAB=∠CAG=90°，得到∠EAC=∠BAG，根据全等三角形的性质得到BG=CE，故正确；推出A，E，B，H四点共圆，根据圆周角定理得到BG⊥CE，故正确；根据射影定理得到AB²=AN•AG，求得S_{正方形ABDE}=S_{四边形ANMG}，故错误；根据射影定理得到BC²=CN•AC，等量代换得到BC²=CF•FM，故正确．

解答 解：设CE，BG交于H，
∵在正方形ABDE和正方形ACFG中，
AB=AE，AG=AC，∠EAB=∠CAG=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
在△EAC与△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴BG=CE，故正确；
∠AEH=∠ABH，
∴A，E，B，H四点共圆，
∴∠BHE=90°，
∴BG⊥CE，故正确；
∵BM⊥GF，AC∥GF，
∴BN⊥AC，
∵∠ABC=90°，BN⊥AC，
∴AB²=AN•AG，
∴S_{正方形ABDE}=S_{四边形ANMG}，故错误；
∵∠ABC=90°，BN⊥AC，
∴BC²=CN•AC，
∵AC=CF，FM=CN，
∴BC²=CF•FM，故正确．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，射影定理，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．