如图1.点P是平面直角坐标系中第一象限内任意一点.PA⊥y轴.PB⊥x轴.垂足分别为A.B.反比例函数y=$\frac{k}{x}$交线段PA于点C.交线段PB于点D.连接CD和AB．①CD不一定平行于AB,②$\frac{PC}{CA}$=$\frac{PD}{DB}$, ③若P(a.b)且k=$\frac{ab}{2}$.则把△PCD沿CD折叠后P点一定落在AB上,④如图2.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图1，点P是平面直角坐标系中第一象限内任意一点，PA⊥y轴，PB⊥x轴，垂足分别为A、B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交线段PA于点C（不与P重合），交线段PB于点D（不与P重合），连接CD和AB．
①CD不一定平行于AB；
②$\frac{PC}{CA}$=$\frac{PD}{DB}$；
③若P（a，b）且k=$\frac{ab}{2}$，则把△PCD沿CD折叠后P点一定落在AB上；
④如图2，过点C作CE⊥x轴，过点D作DF⊥y轴，垂足分别为E、F，若两个阴影部分面积相等，则D为PB中点．
其中正确的是②③④（把所有正确结论的序号都选上）．

分析 ①②设A（0，b），B（a，0），则C（$\frac{k}{b}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），表示PC、PD、AC、BD的长，计算得：$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$，则CD∥AB；
③将k=$\frac{ab}{2}$代入C（$\frac{k}{b}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），可得：C（$\frac{a}{2}$，b），D（a，$\frac{b}{2}$），可知C为PA的中点，D为PB的中点，得平行和相似，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得结论；
④根据两阴影部分的面积列等式可得：k=$\frac{ab}{2}$，代回D点的坐标可得结论．

解答解：①设A（0，b），B（a，0），则C（$\frac{k}{b}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），
∴PC=a-$\frac{k}{b}$=$\frac{ab-k}{b}$，
PD=b-$\frac{k}{a}$=$\frac{ab-k}{a}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\frac{ab-k}{b}}{\frac{k}{b}}$=$\frac{ab-k}{k}$，
$\frac{PD}{BD}$=$\frac{\frac{ab-k}{a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{ab-k}{k}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PD}{BD}$，
∴CD∥AB，
所以①不正确，②正确；
③如图1，∵P（a，b）且k=$\frac{ab}{2}$，
∴C（$\frac{a}{2}$，b），D（a，$\frac{b}{2}$），
∴C为PA的中点，D为PB的中点，
∴CD是△PAB的中位线，
∴CD∥AB，
∴△PCD∽△PAB，
过P作PP′⊥CD，交CD于E，交AB于P′，
由△PCD∽△PAB得：$\frac{PC}{PA}=\frac{PE}{PP′}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=EP′，
即把△PCD沿CD折叠后P点一定落在AB上；
所以③正确；
④由①：设A（0，b），B（a，0），则C（$\frac{k}{b}$，b），D（a，$\frac{k}{a}$），
∴OE=$\frac{k}{b}$，BD=$\frac{k}{a}$，PC=a-$\frac{k}{b}$，PD=b-$\frac{k}{a}$，
∴S_矩形PCGD=S_矩形GFOE，
∴$\frac{k}{b}$×$\frac{k}{a}$=（a-$\frac{k}{b}$）（b-$\frac{k}{a}$），
$\frac{{k}^{2}}{ab}$=ab-k-k+$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
ab=2k，
∴k=$\frac{ab}{2}$，
∴D（a，$\frac{b}{2}$），
∴BD=$\frac{b}{2}$，
∴D为PB中点；
所以④正确；
所以本题正确的是：②③④；
故答案为：②③④．