Question

【题目】已知：如图，AB为的直径，点C是半圆上一点，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．

（1）求证：∠OCF＝∠ECB；

（2）当AB＝10，BC＝，求CF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解.

（2）

【解析】

（1）延长CE交⊙O于点G，利用圆周角的性质进行解答即可．

（2）连接AC，FO，利用△AOC和△FOC均是等腰三角形并且全等，得到CF=AC，在根据AB为直径，△ABC为直角三角形，利用勾股定理求出AC即可得到CF的长.

证明：（1）延长CE交⊙O于点G．
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，
∴BC=BG，
∴∠G=∠2，
∵BF∥OC，
∴∠1=∠F，
又∵∠G=∠F，
∴∠1=∠2．
即∠OCF=∠ECB．

（2）连接AC，FO

∴OA=OC=OF，∠A=∠CFB，

由（1）可知∠1=∠CFB，并△AOC和△FOC均是等腰三角形

∴∠1=∠OFC=∠A=∠ACO

在△AOC和△FOC中

OC是公共边，∠1= =∠ACO，∠OFC=∠A

∴△AOC△FOC

∴CF=AC

∵AB为直径

∴

∴