Question

4．如图，一次函数y₁=x+1的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象交于A（m，2）、B两点．
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）根据图象，当 y₁＜y₂时，直接写出x的取值范围；
（3）点P是x轴上一点，且满足S_△APB=3，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式可得点A的坐标，根据点A的坐标可得反比例函数的解析式；
（2）先通过解方程组，得到两交点坐标，进而得到当 y₁＜y₂时，x的取值范围；
（3）设直线与x轴的交点为C，点P的坐标为（a，0），根据S_△APB=3，可得$\frac{1}{2}$×|-1-a|×（1+2）=3，求得a的值即可．

解答 解：（1）把y=2代入y=x+1得，2=x+1，
解得x=1，
∴A点的坐标为（1，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{2}{x}$；

（2）联立两函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-2，-1），
∴当 y₁＜y₂时，x的取值范围是：x＜-2或0＜x＜1；

（3）设直线与x轴的交点为C，点P的坐标为（a，0），
一次函数y₁=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴C（-1，0），
∴CP=|-1-a|，
由S_△APB=3，可得$\frac{1}{2}$×|-1-a|×（1+2）=3，
解得a=1或-3，
∴P的坐标为（1，0）或（-3，0）．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．