Question

9．（1）如图1，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，连DE，求证：DF•DA=DB•DC；
（2）如图2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F为线段AD上一点，在AD延长线上找一点G使AD²=DF•DG，请画出图形找出点G并加以证明；
（3）如图3，在（1）的条件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接写出BD长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△DBF∽△DAC即可解决问题；
（2）如图2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，连接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延长线于G．则AD²=DF•DG．只要证明△DMF∽△DGM即可解决问题；
（3）如图3中，连接FC．首先证明△BDF≌△ADC，推出DF=DC，想办法求出DF、DC，设BD=AD=y，则AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+{y}^{2}}$，由△EAF∽△DAC，可得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵AD、AE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△DBF∽△DAC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DF}{DC}$，
∴DF•DA=DB•DC．

（2）解：如图2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，
连接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延长线于G．则AD²=DF•DG．

理由：∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°，
∴∠DMF+∠DMG=90°，∠DMG+∠G=90°，
∴∠DMF=∠G，
∴△DMF∽△DGM，
∴$\frac{DM}{DG}$=$\frac{DF}{DM}$，
∴DM²=DF•DG，
∵AD=DM，
∴AD²=DF•DG．
（3）解：如图3中，连接FC．

∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴BD=AD，
∵∠DBF=∠CAD（已证），∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
在Rt△EFC中，FC=$\sqrt{E{F}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=DC=$\sqrt{5}$，设BD=AD=y，则AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+{y}^{2}}$，
∵△EAF∽△DAC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，
∴$\frac{y-\sqrt{5}}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得y=2$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴BD=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．