Question

【题目】（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．

（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）BC＝DC+EC，理由见解析；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由见解析.

【解析】

（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，由于∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD＝∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）

（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A＝∠CBE＝45°，BE＝BF，从而可求出∠BEF的度数．

解：（1）BD＝DC+EC，

理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴EC＝BD，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD；

（2）BD2+CD2＝2AD2，

理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，

∴∠DCE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，

又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2．