Question

12．如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出3²+x²=（x+1）²，通过解方程即可求得．

解答 （1）证明：连接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，
在RT△OBD中，OB²+BD²=OD²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∴线段BD的长是4．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．