Question

2．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
• B． $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{13}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先连接BC，根据AB为⊙O直径，可得∠BCA=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出BC的长度是多少；然后在Rt△BCE中，由勾股定理，求出BE的长度是多少；最后根据一个角的正弦的求法，求出sinα的值为多少即可．

解答 解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
又∵AB=10，AC=8，
∴BC=$\sqrt{{10}^{2}{-8}^{2}}$=6；
又∵OD⊥AC，
∴CE=AE=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得
BE=$\sqrt{{BC}^{2}{+EC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+4}^{2}}=2\sqrt{13}$，
∴sinα=$\frac{BC}{BE}=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故选：A．

点评 （1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了直角三角形的性质的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了锐角三角函数的定义以及求法，要熟练掌握．