Question

14．如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-4，6），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=1，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．CF=2$\sqrt{3}$．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的函数关系式；
（3）连接HC，求直线HC与EF的交点坐标．
（提示：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 （1）过点D作DM⊥y轴于点M，设CE=a，CM=b．根据边与边的关系以及翻折的特性可得出△EGD和△DMF各边的长度，根据勾股定理得出关于a、b的二元二次方程，解方程即可得出a、b值，根据a、b的值即可得出D、E的坐标；
（2）根据线段CF的长度找出F点的坐标，设折痕EF所在直线的函数关系式为y=kx+6-2$\sqrt{3}$，由点E的坐标利用待定系数法求出k值即可得出结论；
（3）结合H、C的坐标设出直线CH的函数关系式为y=k₁x+6，由点H的坐标利用待定系数法求出直线CH的关系式，令y=2x+6=-$\sqrt{3}$x+6-2$\sqrt{3}$，求出x值，再将x代入到直线y=2x+6中求出y即可得出结论．

解答 解：（1）过点D作DM⊥y轴于点M，如图1所示．

设CE=a，CM=b（0＜a＜3）．
∵点B的坐标为（-4，6），
∴BC=AO=4，BA=CO=6，
∵AH=1，HG⊥x轴，
∴BG=AH=1，BA=GH=6，
∴GC=BC-BG=4-1=3．
∵CE=a，CM=b，
∴GD=b，GE=GC-CE=3-a，MF=CF-CM=2$\sqrt{3}$-b．
由翻折的特性可知：DE=CE，DF=CF．
由勾股定理可得$\left\{\begin{array}{l}{D{E}^{2}=G{D}^{2}+G{E}^{2}}\\{D{M}^{2}+M{F}^{2}=D{F}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+（3-a）^{2}}\\{（2\sqrt{3}）^{2}={3}^{2}+（2\sqrt{3}-b）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍去）．
即CE=2，GD=$\sqrt{3}$，HD=GH-GD=6-$\sqrt{3}$．
故点E的坐标为（-2，6），点D的坐标为（-3，6-$\sqrt{3}$）．
（2）∵OF=CO-CF=6-2$\sqrt{3}$，
∴点F的坐标为（0，6-2$\sqrt{3}$）．
设折痕EF所在直线的函数关系式为y=kx+6-2$\sqrt{3}$．
∵点E（-2，6）在直线EF上，
∴有6=-2k+6-2$\sqrt{3}$，解得：k=-$\sqrt{3}$，
∴折痕EF所在直线的函数关系式为y=-$\sqrt{3}$x+6-2$\sqrt{3}$．
（3）根据题意画出图形，如图2．

点C的坐标为（0，6），点H的坐标为（-3，0）．
设直线CH的函数关系式为y=k₁x+6，
将点H（-3，0）的坐标代入y=k₁x+6中，
得0=-3k₁+6，解得：k₁=2．
∴直线CH的函数关系式为y=2x+6．
令y=2x+6=-$\sqrt{3}$x+6-2$\sqrt{3}$，解得：x=6-4$\sqrt{3}$，
将x=6-4$\sqrt{3}$代入y=2x+6中，得：y=18-8$\sqrt{3}$．
∴直线HC与EF的交点坐标为（6-4$\sqrt{3}$，18-8$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了解二元二次方程组、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及两直线的交点，解题的关键：（1）结合勾股定理得出关于a、b的二元二次方程组；（2）由待定系数法求出函数解析式；（3）由待定系数法求出函数解析式，再求出两直线的交点．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由待定系数法求出函数解析式是关键．