Question

9．如图，百货大楼的顶部竖有一根“避雷针”CD，甲同学在距离大楼墙根E处30米的山坡的坡脚A处测得“避雷针”底部的D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得“避雷针”顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：$\sqrt{3}$，AB=20米，求“避雷针”CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．

解答 解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=10，AF=10$\sqrt{3}$．
∴BG=AF+AE=10$\sqrt{3}$+30．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=10$\sqrt{3}$+30．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=30$\sqrt{3}$．
∴CD=CG+GE-DE=10$\sqrt{3}$+30+10-30$\sqrt{3}$=40-20$\sqrt{3}$≈5.4m．
答：宣传牌CD高约5.4米．

点评 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．