Question

12．已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）如图①，求证：AC=CD；
（2）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）如图①，先利用切线的性质得∠OAB+∠CAB=90°，再利用OC⊥OB得到∠B+∠ODB=90°，然后根据对顶角相等和等腰三角形的性质得到∠ODB=∠ADC，∠OAB=∠B，则可判断∠ADC=∠CAB，于是利用等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图②，先判断△OBE为等腰直角三角形得到∠OEB=45°，再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OEB=45°，则可判断△OAC为等腰直角三角形，所以AC=OA=1，OC=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$，然后利用（1）中的结论得到CD=CA=1，于是计算OC-CD即可．

解答 （1）证明：如图①，
∵直线AC与⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°，
∴∠B+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC+∠B=90°，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD；
（2）解：如图②，
∴∠BOC=90°，OB=OE，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴∠OEB=45°，
∵BE∥OA，
∴∠AOC=∠OEB=45°，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AC=OA=1，OC=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$，
而CD=CA=1，
∴OD=OC-CD=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．