如图1.已知∠ABC=90°.D是直线AB上的一点.AD=BC.连结DC．以DC为边.在∠CDB的同侧作∠CDE.使得∠CDE=∠ABC.并截取DE=CD.连结AE．(1)求证:△BDC≌△AED,并判断AE和BC的位置关系.说明理由,(2)若将题目中的条件“∠ABC=90° 改成“∠ABC=x° .①结论“△BDC≌△AED 还成立吗?请说明理由,②试探索:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图1，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的一点，AD=BC，连结DC．以DC为边，在∠CDB的同侧作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，连结AE．
（1）求证：△BDC≌△AED；并判断AE和BC的位置关系，说明理由；
（2）若将题目中的条件“∠ABC=90°”改成“∠ABC=x°（0＜x＜180）”，
①结论“△BDC≌△AED”还成立吗？请说明理由；
②试探索：当x的值为多少时，直线AE⊥BC．

分析（1）根据已知条件得到∠CBD=90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质得到∠A=∠CBD=90°，即可得到结论；
（2）①根据三角形外角的性质得∠C=∠ADE，根据全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；②如图2，延长EA交BC于F，根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠EAD然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答解：（1）AE∥BC，
理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴∠CBD=90°，
∵∠EDA+∠BDC=90度，
∠DCB+∠BDC=90度，
∴∠DCB=∠EDA．
故在△BDC与△ADE中，BC=AD，∠DCB=∠EDA，CD=BE，
∴△BDC≌△ADE（SAS）
∴∠A=∠CBD=90°=∠ABC，
∴AE∥BC；

（2）①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°，
∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°，
∴∠C=∠ADE，
在△BDC与△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠C=∠ADE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AED；
②如图2，延长EA交BC于F，
∵△BDC≌△AED，
∴∠DBC=∠EAD，
∴∠FAB=∠ABF，
∴当AE⊥BC时，
即∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠ABC=45°，
如图3，同理得到∠ABC=135°，
∴当x=45或135°时，AE⊥BC．