题目内容

10．己知点A（a，b）是反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC=3CD，连接BC．
（1）求k的值；
（2）在点A运动过程中，设△ABC的面积为S，则S是否变化？若不变，请求出S的值；若改变，请写出S关于a的函数关系式；
（3）探究：△ABC与以点O、D、E为顶点的三角形是否相似．

分析 （1）由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据（1）得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）由已知可得出∠BAC=∠DOE=90°，因此分两种情况来讨论．①△ABC∽△ODE是否成立？根据相似三角形的性质验证对应线段是否成比例，从而得出结论；②△ABC∽△OED是否成立？根据相似三角形的性质验证对应线段是否成比例，从而得出结论．

解答 解：（1）∵A（a，b），且A在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象上，
∴b=$\frac{8}{a}$，
∵AC∥y轴，且C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴C（a，$\frac{k}{a}$）．
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即$\frac{8}{a}$=4•$\frac{k}{a}$，
∴k=2．
（2）由（1）可知：A（a，$\frac{8}{a}$），C（a，$\frac{2}{a}$）．
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为$\frac{8}{a}$，
∵点B在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的函数图象上，
∴$\frac{8}{a}$=$\frac{2}{x}$，解得：x=$\frac{a}{4}$，
∴点B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3a}{4}$，AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{3a}{4}$•$\frac{6}{a}$=$\frac{9}{4}$，
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于$\frac{9}{4}$．
（3）连接DE，如图所示．
∵由已知可知：∠BAC=∠DOE=90°，
∴△ABC与以点O、D、E为顶点的三角形如果相似，那么点A与点O一定是对应顶点．
下面分两种情况进行探究：
①△ABC∽△ODE是否成立？
∵$\frac{AB}{OD}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{a}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{OE}$=$\frac{\frac{6}{a}}{\frac{8}{a}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{AC}{OE}$．
又∵∠BAC=∠DOE=90°，
∴△ABC∽△ODE．
∴在点A的运动过程中，△ABC∽△ODE始终成立；
②△ABC∽△OED是否成立？
$\frac{AB}{OE}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{\frac{8}{a}}$=$\frac{3{a}^{2}}{32}$，$\frac{AC}{OD}$=$\frac{\frac{6}{a}}{a}$=$\frac{6}{{a}^{2}}$，
当$\frac{AB}{OE}$=$\frac{AC}{OD}$时，即$\frac{3{a}^{2}}{32}$=$\frac{6}{{a}^{2}}$，
∴a=2$\sqrt{2}$．
∴在点A的运动过程中，当a=2$\sqrt{2}$时，△ABC∽△OED．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）根据线段间的关系找出关于k的一元一次方程；（2）用含a的代数式表示出线段AB、AC；（3）根据线段间的关系找出三角形是否相似．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据对应线段成比例来证出三角形相似是难点，在日常练习中应加强该方面的练习．

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