Question

18．如图，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为A（10，0），B（6，8），直线y=kx分别交BC、AB与点M、N．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若直线y=kx交线段AB与点N，当AN=2$\sqrt{5}$时，请说明直线y=kx垂直线段AB；
（3）在（2）的条件下，求MC的长．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的函数解析式为y=mx+n，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）过点N作NE⊥x轴于点E，由平行线的性质找出比例关系$\frac{NE}{BC}=\frac{EA}{CA}=\frac{AN}{AB}$，从而找出NE的长度，通过解直角三角形找出ON的长度，再根据勾股定理逆定理ON²+NA²=OA²，即可得出结论；
（3）由BC∥NE根据平行线的性质即可得出$\frac{MC}{NE}=\frac{OC}{OE}$，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A（10，0）、B（6，8）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=10m+n}\\{8=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=20}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+20．
（2）过点N作NE⊥x轴于点E，如图1所示．
∵∠ACB=90°，NE⊥x轴，
∴BC∥NE，
∴$\frac{NE}{BC}=\frac{EA}{CA}=\frac{AN}{AB}$．
∵点A（10，0），B（6，8），
∴AB=4$\sqrt{5}$，BC=8，AC=4，
∴NE=4，AE=2，
在Rt△OEN中，NE=4，OE=OA-AE=8，
∴ON=4$\sqrt{5}$，
∴ON²+NA²=OA²，
∴直线y=kx垂直线段AB．
（3）∵BC∥NE，
∴$\frac{MC}{NE}=\frac{OC}{OE}$．
∵OC=OA-AC=6，OE=8，NE=4，
∴MC=3．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用勾股定理来证垂直；（3）根据平行线的性质求出MC的长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线分线段成比例来解决问题是关键．