对于一个圆和一个正方形给出如下定义:若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点.则称这个圆是该正方形的“等距圆．如图1.在平面直角坐标系xOy中.正方形ABCD的顶点A的坐标为(2.4).顶点C.D在x轴上.且点C在点D的左侧．(1)当r=2$\sqrt{2}$时.在P1(0.2).P2.P3中可以成为正方形ABCD的“等距圆的圆心的是P2,.则当⊙P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．
如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=2$\sqrt{2}$时，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P₂（-2，4）；
（2）当P点坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r是多少时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，试判断此时⊙P与直线AC的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，直接写出r的取值范围是0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}+2\sqrt{2}$．
②若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

分析（1）根据“等距圆”的定义，可知只要圆经过正方形的中心，即是正方形的“等距圆”，也就是说圆心与正方形中心的距离等于圆的半径即可，从而可以判断哪个点可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心，本题得以解决；
（2）根据题意可知，只要求出点P与正方形ABCD的中心的距离即可求得半径r的长度，连接PE，可以得到直线PE的解析式，看点B是否在此直线上，由BE与直线AC的关心可以判断PE与直线AC的关系，本题得以解决；
（3）①根据题意，可以做出合适的辅助线，画出相应的图形，然后灵活转化，可以求得相应的r的取值范围，本题得以解决；
②根据题意，可以得到点P满足的条件，列出形应的二元一次方程组，从而可以求得点P的坐标．

解答解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，
∴⊙P一定过点M，
∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
∴点M（0，2），
设⊙P的圆心坐标是（x，y），
∴$（x-0）^{2}+（y-2）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}$，
将P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）分别代入上面的方程，只有P₂（-2，4）成立，
故答案为：P₂（-2，4）；
（2）由题意可得，
点M的坐标为（0，2），点P（-3，6），
∴r=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（6-2）^{2}}=5$，
即当P点坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r是5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；
此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，
理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，
∴点C（-2，0），
设过点A（2，4），点C（-2，0）的直线的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直线AC的解析式为：y=x+2，
∴点P（-3，6）到直线AC的距离为：$\frac{|-3-6+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；
（3）连接DH，作DT⊥HF于点T，以点D为圆心，DE长为半径作圆，交DT于点E₂，交HD的延长线于点E₁，如右图2所示，
①设过点H（0，8），F（2，6）的直线的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即直线HF的解析式为：y=-x+8，
∵HF⊥DT，D（2，0），
∴设直线DT所在直线的解析为：y=x+c，
则0=2+c得c=-2，
即直线DT所在的直线解析为：y=x-2，
∵点T是直线HT与直线DT的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=5}\end{array}\right.$，
即点T的坐标为（3，5），
∴DT=$\sqrt{（5-2）^{2}+（3-0）^{2}}=3\sqrt{2}$，
又∵DE₂=DE=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴E₂T=DT-DE₂=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴当0＜r＜$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；
∵D（0，2），H（0，8），
∴DH=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-8）^{2}}=2\sqrt{17}$，
又∵DE₁=DE=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴HE₁=2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$，
∴当r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；
故答案为：0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$；
②设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，如右上图2所示，
∵点E（0，2），N（3，5），点C（-2，0），点B（-2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=\sqrt{（3-x）^{2}+（5-y）^{2}}}\\{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=x-（-2）}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2\sqrt{5}}\\{y=-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2\sqrt{5}}\\{y=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即⊙P的圆心P的坐标是（5+2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$）或（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．