Question

18．已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．
（1）若BC=4，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，求S_△DCP的值；
（2）求证：∠AOB=3∠PAF．

Answer 1

分析 （1）根据AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF，可得AP=AC，由BC=4，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，可求得AB=CD=2，根据勾股定理求出AC=2$\sqrt{5}$，再求出PD，用三角形面积公式计算即可；
（2）连接DF，证明△ADF≌△BCF，可知∠DAF=∠CBF，又∠ACB=∠DAC=2∠DAF，运用三角形外角性质易证．

解答 解：（1）∵AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF，
∴AP=AC，
∵BC=4，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2，
根据勾股定理得AC=2$\sqrt{5}$，
∴DP=2$\sqrt{5}$-4，
∴S_△DCP=$\frac{1}{2}$•DP•DC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$-4）×2=2$\sqrt{5}$-4；
（2）如右图所示，连接DF，
由（1）易知PF=CF，
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠FCD，
∴∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CF}\\{∠ADF=∠BCF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BCF，
∴∠DAF=∠CBF，
又∵∠ACB=∠DAC=2∠DAF，
∴∠AOB=∠CBF+∠ACB=3∠DAF．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角函数，有一定难度，关键是发现全等三角形，得到边角的等量关系．