Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED＝45°．

（1）求证：CD∥AB；

（2）填空：

①若DF＝AP，当∠DAE＝　 　时，四边形ADFP是菱形；

②若BF⊥DF，当∠DAE＝　 　时，四边形BFDP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质得到∠ODF＝90°，再由已知得到∠AOD＝2∠AED＝90°，从而得到∠ODF＝∠AOD，进而证明CD∥AB；

（2）①根据菱形的性质进行角度运算即可得出；

②根据正方形的性质运算角度即可得出．

解：（1）如图，连接OD，

∵射线DC切⊙O于点D，

∴OD⊥CD，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，

∴CD∥AB．

（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，

∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，

∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，

∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，

∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PAG＝22.5°，

∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，

故答案为：67.5°；

②∵四边形BFDP是正方形，

∴BF＝FD＝DP＝PB，

∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，

∴此时点P与点O重合，

∴此时DE是直径，

∴∠EAD＝90°，

故答案为：90°．