Question

【题目】如图,在中，是的直径,点是上一点，点是弧的中点，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接,分别交于点，连接．给出下列结论:①；②；③点是的外心；④．其中正确的是( )

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由于与不一定相等，根据圆周角定理可判断①；
②连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可判断②；
③先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可判断③；
④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP×AD=AF×AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF×AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ×CB，由此即可判断④；

解：①错误，假设，则，

，

，显然不可能，故①错误．

②正确．连接．

是切线，

，

，

，

，

，，

，

，故②正确．

③正确．，

，

，

，

，

，

是直径，

，

，，

，

，

，

点是的外心．故③正确．

④正确．连接．

，，

，

，

，

，，

，

可得，

，，

，可得，

．故④正确，

故选：．