Question

在图1、图2中，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，点D、E分别在AC、BC的延长线上，求证：△FGH是等腰直角三角形；
（2）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，△FGH还是等腰直角三角形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）由等腰三角形的性质可以得出CE=CD，CA=CB，进而求出AD=BE，由三角形中位线的性质可以求出HF=GF，∠HFG=90°，就可以求出结论；
（2）连结AD、BE，可以得出△ACD≌△BCE，就可以得出AD=BE，∠CAD=∠CBE，就可以得出∠BPQ=90°，进而求出∠GFH=90°而得出结论．

解答：证明：（1）∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴HF，GF分别是△AED和△BED的中位线，
∴HF=

1

2

AD，GF=

1

2

BE，HF∥AD，GF∥BE，
∴∠FMC+∠DCE=180°，∠FNC+∠DCE=180°．
∵∠DCE=90°，
∴∠FMC=∠FNC=90°，
∴∠GFH=90°．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∴AC+DC=BC+EC，
即AD=BE．
∴HF=GF，
∴△FGH是等腰直角三角形；
（2）△FGH是等腰直角三角形．
理由：连结AD、BE，设AD交BE于点P，交BC于点Q，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴HF，GF分别是△AED和△BED的中位线，
∴HF=

1

2

AD，GF=

1

2

BE，HF∥AD，GF∥BE，
∴HF=HF．
∵∠BQD+∠CBE=∠AQC+∠CAD=90°，
∴∠APB=90°．
同（1）可证∠HFG=90°，
∴△FGH是等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．