Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为（　　）

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  4

  3

• D、2

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：本题可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

解答：解：连接DH，作OG⊥CD于G，如图，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴BD=

22+42

=2

5

，
∵O是对称中心，
∴OD=

1

2

BD=

5

，
∵OG⊥CD，
∴DG=

1

2

CD=1，OG=

1

2

BC=2，
∴OG为⊙O的切线，
∵OH是⊙D的切线，
∴DH⊥OH，OH=OG=2，
∵DH=1，
∴tan∠ADB=

AB

AD

=

1

2

，tan∠HOD=

DH

OH

=

1

2

，
∵∠ADB=∠HOD，
∴OE=ED，
设EH为x，则ED=OE=OH-EH=2-x，
∴1²+x²=（2-x）²，解得x=

3

4

，
即EH=

3

4

又∵∠FOE=∠DHO=90°，
∴FO∥DH，
∴∠EFO=∠HDE，
∴tan∠EFO=tan∠HDE=

DH

EH

=

3

4

．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．关键是利用平行把已知角代换成其它相等的容易求出其正切值的角．