Question

已知：△ABC为等边三角形，为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD=DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点在AC的延长线上时，求证：BD+AB=AE；
（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点在线段AC上时，请直接写出BD、AB、AE的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD=DE，得出△CDE是等腰三角形，得出CD=CE，由线段关系可得出BD+AB=AE．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．

解答：证明：（1）如图1，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD=CD，∠CAD=

1

2

∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠E=∠CAD=30°，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD．
（2）成立，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD即AH=DC，
∴∠BHD=60°，BD=DH，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E即∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB即∠AHD=∠DCE，
∵∠BAD=∠CDE，AD=DE，∠AHD=∠DCE，
在△AHD和△DCE，

∠BAD=∠CDE ∠AHD=∠DCE AD=DE

，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD，
（3）AB=BD+AE，
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
∵DF=DF，AF=EF，
在△AFD和△EFD中，

AD=DE DF=DF AF=EF

，
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB=∠DEF，
∴∠FDB=∠DFB，
∴DB=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=BD+AE．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．