Question

5．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，点E为AC边上的一点（不与点A重合），过B，C，E三点的圆与AB边交于点D，连接BE．设△ABC的面积为S，△BDEBDE的面积为S₁．
（1）当BD=2AD时，求$\frac{S_1}{S}$的值；
（2）设AD=x，y=$\frac{s_1}{s}$；
①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②求函数y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于BD=2AD，于是得到S₁=2S_△ADE，由圆内接四边形的性质得到∠ADE=∠C，推出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，求得AD=$\frac{1}{3}$AB=2，得到S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABE=S_△ADE，即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到S₁=$\frac{6-x}{x}$S_△ADE，求得S_△ABE=$\frac{6}{x}$S_△ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，求得AE=$\frac{3}{2}$x，CE=4-$\frac{3}{2}$x，于是得到$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$，求出S=S_△ABE+S_△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S_△ADE，即可得到结论；②把二次函数的解析式化为顶点式即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD=2AD，
∴S₁=2S_△ADE，
∵过B，C，E三点的圆与AB边交于点D，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵AB=6，AC=4，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{AE}{6}$，
∴AE=3，∴CE=1，
∴S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABE=S_△ADE，
∴S=4S_△ADE，
∴$\frac{S_1}{S}$=$\frac{1}{2}$；

（2）①∵AD=x，
∴BD=6-x，
∴S₁=$\frac{6-x}{x}$S_△ADE，
∴S_△ABE=$\frac{6}{x}$S_△ADE，
由（1）知△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$x，
∴CE=4-$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$，
∴S_△BCE=$\frac{8-3x}{3x}$•S_△ABE=$\frac{16-6x}{{x}^{2}}$S_△ADE，
∴S=S_△ABE+S_△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S_△ADE，
∴y=$\frac{s_1}{s}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{8}$x（0＜x＜6），
②∵y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{8}$x=-$\frac{1}{16}$（x-3）²+$\frac{9}{16}$，
∴函数y的最大值是$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的面积的计算，求二次函数解析式和二次函数的最值，证得△ADE∽△ACB是解题的关键．