Question

9．若方程x²-mnx+m+n=0有整数根，且m、n为自然数，求m、n的值．

Answer 1

分析 设方程两整数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，再根据（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，即可进行求解．

解答 解：设方程有整数根，则x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n＞0，故这两个根均为正数．
又（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，
其中（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．
分别可解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了根与系数关系，难度适中，主要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．