题目内容
6．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=$\sqrt{3}$．（1）如图1，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=$\frac{1}{2}$BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．
（2）如图2，∠B=120°，点D是优弧$\widehat{AC}$的中点，DE∥BC交BA延长线于点E，BE=2，请将图形补充完整并求AB的值．
分析 （1）作OF⊥l于F，CE⊥l于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题．
（2）只要证明△EDA≌△BDC，得AE=BC，即可解决问题．
解答 解：（1）图形如图所示，直线l与⊙O相切．
理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF=$\frac{1}{2}$（AD+CE），设AD=a，则AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA，
∴直线l是⊙O切线．
（2）图形如图2所示，连接AD，BD，CD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，∠ABC=120°，
∴∠EBD=∠CBD=60°，
∵DE∥CB，
∴∠ABC+∠E=180°，
∴∠E=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴∠EDB=60°，ED=DB，
∵∠ACD=∠ABD=60°，∠DAC=∠CBD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，DA=DC，
∴∠EDB=∠ADC，
∴∠EDA=∠BDC，
在△EDA和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDA≌△BDC，
∴AE=BC=$\sqrt{3}$，
∵BE=2，
∴AB=BE-AE=2-$\sqrt{3}$．
点评 本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造图形中位线，或构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞-2，}&{①}\\{\frac{2x-1}{3}≤1，}&{②}\end{array}\right.$．请结合题意填空，完成本题的解答．
如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，求∠2的度数．
如图，下列说法正确的是（ ）| A． | OA方向是北偏东30° | B． | OB方向是北偏西25° | ||
| C． | OC方向是西南方向 | D． | OD方向是南偏东40° |