Question

20．PA为⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，PD=PA，连接CD，BD分别交⊙O于E，F，求证：EF∥PD．

Answer 1

分析 根据切割线定理得到PA²=PB•PC，等量代换得到PD²=PB•PC，推出△PBD∽△PDC，根据相似三角形的性质得到∠PDB=∠C，由圆周角定理得到∠C=∠F，等量代换得到∠F=∠PDB，根据平行线的判定即刻得到结论．

解答 证明：∵PA为⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∵PD=PA，
∴PD²=PB•PC，
∴$\frac{PD}{PB}$=$\frac{PC}{PD}$，
∵∠DPC=∠BPD，
∴△PBD∽△PDC，
∴∠PDB=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠F=∠PDB，
∴EF∥PD．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟记掌握切割线定理是解题的关键．