Question

8．在边长为3的正方形ABCD中，点E、F在正方形不同的边上，且与点A构成等腰三角形．若等腰三角形AEF的底边长为2$\sqrt{2}$，则等腰三角形AEF的腰长是2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 分三种情讨论即可①如图1中，当AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$时．②如图2中，当AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$时．③如图3中，当FA=EF，AE=2$\sqrt{2}$时．

解答 解：①如图1中，当AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$时，易知AE=AF=2．

②如图2中，当AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$时，CE=CF=2，BE=DF=1，AE=AF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

③如图3中，当FA=EF，AE=2$\sqrt{2}$时，作FG⊥AE于G，则四边形AGFD是矩形，AD=FG=3，

∵FA=FE，FG⊥AE，
∴AG=$\sqrt{2}$，
在Rt△AFG中，AF=EF=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
综上所述，腰三角形AEF的腰长是2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．
故答案为2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．