Question

6．（1）观察下列各式$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…，请根据规律写出第n个等式；
（2）若$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，对任意自然数n都成立，则a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$；
（3）根据（2）的结论，计算$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{97×99}$．

Answer 1

分析 （1）两个连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差，据此可得；
（2）将等式右边通分，依据分式的加法运算后可得$\frac{2（a+b）n+a-b}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，从而得出关于a、b的方程组，解之可得；
（3）依据以上规律，列项相消求解可得．

解答 解：（1）第n个等式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）∵$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$=$\frac{a（2n+1）+b（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{2（a+b）n+a-b}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故答案为：$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{97}$-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{99}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{98}{99}$
=$\frac{49}{99}$．

点评 本题主要考查数字的变换规律，熟练掌握两个等式前后变化的规律是解题的关键