Question

19．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（1，1），若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是1≤k≤$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 结合图形可知当双曲线过C点时k有最小值，当直线AB与与双曲线只有一个交点时k有最大值，从而可求得k的取值范围．

解答 解：
若双曲线与△ABC有公共点，则双曲线向下最多到点C，向上最多到与直线AB只有一个交点，

当过点C时，把C点坐标代入双曲线解析式可得1=$\frac{k}{1}$，解得k=1；
当双曲线与直线AB只有一个交点时，设直线AB解析式为y=ax+b，
∵A（1，4），B（4，1），
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=a+b}\\{1=4a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+5，
联立直线AB和双曲线解析式可是$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-5x+k=0，
则该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-5）²-4k=0，解得k=$\frac{25}{4}$，
∴k的取值范围为：1≤k≤$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个端点位置是解题的关键．