题目内容

10.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D,CE⊥AB于点E,交AD于点F,取BG=CD,连接FG,求证:FG∥AB.

分析 如图,作DH⊥AB于H,易证CE∥DH,则∠1=∠2;由AD平分∠BAC,可知CD=DH,根据等角的余角相等可知∠5=∠7,所以CD=CF,所以DH=CF;由BG=CD可知BD=GC;由根据以上条件可证△BHD≌△GFC,得到∠BHD=∠GFC=∠BEC=90°,所以FG∥AB.

解答 证明:作DH⊥AB于H,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=∠DHB=90°,
∴CE∥DH,
∴∠1=∠2,
又∵∠ACB=90°,AD平分∠BAC,
∴DH=DC,∠3=∠4,
∵∠5=∠6=90°-∠3,
∠7=90°-∠4,
∴∠5=∠7,
∴CD=CF,
∴DH=CF,
∵BG=CD,
∴BG+GD=CD+GD,
即BD=GC,
在△BHD和△GFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=GC}\\{∠1=∠2}\\{DH=CF}\end{array}\right.$,
∴△BHD≌△GFC,
∴∠BHD=∠GFC=90°,
∴∠GFC=∠BEC=90°,
∴FG∥AB.

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、平行线的判定与性质等知识的综合运用,作DH⊥AB于H,证明△BHD≌△GFC是整个问题的关键.

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