Question

14．已知：如图二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c图象经过原点O，图象顶点为N，对称轴ND为直线x=3．
（1）求此二次函数表达式；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移到点M，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，连结AC、AB、BC，当tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求证：△ABC是直角三角形；
（3）在（2）的基础上，试求出以线段OC、MN和两抛物线所围成的区域的面积．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式，待定系数法，可得函数关系式；
（2）根据正切函数，可得B点坐标，根据待定系数法，可得平移后的解析式，根据正切值，可得∠ABC=∠ACO，根据余角的性质，可得答案；
（3）根据线段CM与平移后的抛物线围成区域和线段ON与原抛物线围成的区域面积相等，可得以线段OC、MN和两抛物线所围成的区域的面积等于S_{四边形OCNM}．

解答 解：（1）由图象经过原点，得
c=0，由对称轴等于3，得
x=-$\frac{b}{-2×\frac{1}{4}}$=3，解得b=$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x；
（2）设平移后的抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+c，则OC=c，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴OB=2c，则B点坐标为（2c，0），
把点B代入上式，得c=4，
∴平移后的抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∵OA=2，OC=4，OB=8，tan∠ABC=tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=∠ACO，
∵OC⊥AB，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如图，
连线CM，ON，由平移，得
OC平行且等于MN，
∴四边形OCNM是平行四边形，S_{四边形OCNM}=OC•OD=12，
由平移，得
线段CM与平移后的抛物线围成区域和线段ON与原抛物线围成的区域面积相等，
则以线段OC、MN和两抛物线所围成的区域的面积等于S_{四边形OCNM}=12．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用正切函数的定义得出∠ABC=∠ACO，又利用了余角的性质；解（3）的关键是利用平移得出以线段OC、MN和两抛物线所围成的区域的面积等于S_{四边形OCNM}．