Question

12．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=10，AE=6，求BO的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=AE，只要证明△ADC≌△AEB即可．
（2）先利用勾股定理求出BE，再证明△BDO∽△BEA，得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BO}{AB}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADC=∠AEB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB，
∴AD=AE．
（2）解：∵AD=AE，AE=6，AB=10，
∴BD=10-6=4，
在RT△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠B=∠B，∠BDO=∠AEB=90°，
∴△BDO∽△BEA，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BO}{AB}$，
∴$\frac{4}{8}$=$\frac{BO}{10}$，
∴BO=5．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．