Question

20．某公司投资40万元生产A，B两种产品．已知投资A产品获得的利润y₁（万元）与投资金额x（万元）的关系为y₁=x；投资B产品获得的利润y₂（万元）与投资金额x（万元）的关系为y₂=$\frac{1}{10}$x²，且投资B产品的金额不少于A产品的投资金额．但不多于A产品投资金额的3倍．设投资B产品的金额为x万元．
（1）若公司计划获得60万元的总利润，求出投资A，B两种产品各多少万元？
（2）求出公司获得的总利润W（万元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当投资B产品的金额为多少万元时，该公司获得的利润最大，并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程x+$\frac{1}{10}$x²=60，解方程即可；
（2）由题意得解不等式0≤x≤$\frac{1}{10}{x}^{2}$≤3x，求出x取值范围，根据总利润等于A，B两种产品利润之和，即可求出解析式；
（3）先求出对称轴，由于a＞0，在对称轴右侧，函数随x增大而最大，把x的最大值代入即可．

解答 （1）由题意得：x+$\frac{1}{10}$x²=60，解得：x₁=20，x₂=-30（舍去），
∴投资B产品各20万元，投资A种产品40-20=20（万元）；

（2）由题意得：0≤x≤$\frac{1}{10}{x}^{2}$≤3x，
解得：10≤x≤30，
∴w=y₁+y₂=$\frac{1}{10}$x²+x（10≤x≤30）；

（3）x=-$\frac{1}{2×\frac{1}{10}}$=-5，
在对称轴右侧，w随x增大而增大，
∴当x=30时，w最大，最大值为w=$\frac{1}{10}$×30²+30=120，
∴投资B产品的金额为30万元时，该公司获得的利润最大，最大利润为120万元．

点评 本题主要考查了方程，不等式，列函数解析式，求函数最值问题，能根据题意求出自变量取值范围是解决问题的关键．