Question

7．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求$\frac{GM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x，所以GM=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$x，于是可计算出$\frac{GM}{MD}$的值．

解答 （1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高，
∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDG=∠ADE}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，
∵四边形DEFG为正方形，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE，
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，
∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x，
∵△BDG≌△ADE，
∴BG=AE=4x，
在Rt△BGA中，AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{（4x）^{2}+（3x）^{2}}$=5x，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴∠4=45°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，
∴△DBM∽△DGB，
∴BD：DG=DM：BD，即$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x=DM：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，解得DM=$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x，
∴GM=DG-DM=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{25\sqrt{2}}{14}$x=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$x，
∴$\frac{GM}{MD}$=$\frac{\frac{12\sqrt{2}}{7}x}{\frac{25\sqrt{2}}{14}x}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和正方形的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；利用代数式表示线段可较好得表示线段之间的关系；会运用相似比求线段的长．