Question

如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，不与A，C重合，PE⊥DA，PF⊥CD，E、F为垂足，
（1）求证：四边形EPFD为矩形；
（2）求证：BP=EF；
（3）过E，P，F三点作⊙O，设正方形ABCD的边长为4，当AC与⊙O相切时，求BP的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,切线的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得∠D=90°，再根据垂直的定义求出∠PED=∠PFD=90°，然后根据四个角都相等的四边形是矩形证明即可；
（2）连接PD，根据正方形的性质可得∠BAP=∠DAP，AB=AD，然后利用“边角边”证明△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=DP，再根据矩形的对角线相等可得DP=EF，从而得证；
（3）设DP、EF的交点为O，根据矩形的对角线互相平分且相等可得点O到E、P、F、D的距离相等，从而判断出PD、EF为⊙O的直径，再根据直线与圆相切的定义可得PD⊥AC，然后根据正方形的性质求解即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠D=90°，
∵PE⊥DA，PF⊥CD，
∴∠PED=∠PFD=90°，
∴∠PED=∠PFD=∠EPF=∠D，
∴四边形EPFD为矩形；

（2）证明：如图，连接PD，
在正方形ABCD中，∠BAP=∠DAP，AB=AD，
在△ABP和△ADP中，

AP=AP ∠BAP=∠DAP AB=AD

，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
由（1）知四边形EPFD是矩形，
∴EF=DP，
∴BP=EF；

（3）解：设DP、EF的交点为O，
∵四边形EPFD是矩形，
∴点O到E、P、F、D的距离相等，
∴点E、P、D、F四个点在同一个圆上，即⊙O上，对角线PD、EF为⊙O的直径，
∴当AC⊥PD时，AC为⊙O的切线，
此时，PA=PB=PC=PD=

1

2

AC=

1

2

×4

2

=2

2

，
故BP的长为2

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，切线的性质，熟记各图形的性质和判定方法是解题的关键．