Question

1．平行四边形、矩形有以下重要性质，你能证明吗？
（1）如图①，已知?ABCD，则AC²+BD²=2（AB²+BC²）．
（2）如图②，已知P为矩形ABCD内一点，则PA²+PC²=PB²+PD²．

Answer 1

分析 （1）如图①，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，所以AC²+BD²=2（AB²+BC²）．
（2）利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出AK²=DG²，CG²=BK²，即可得出答案．

解答 证明：（1）证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

（2）过点P作KG∥BC，如图②，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²．
同理，PC²=CG²+PG²；PB²=BK²+PK²，PD²=DG²+PG²，PA²+PC²=AK²+PK²+CG²+PG²，PB²+PD²=BK²+PK²+DG²+PG²．
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，
同理CG=BK，
∴AK²=DG²，CG²=BK²
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评 此题主要考查学生对矩形、勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．