Question

17．如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．
（1）求a、c的值．
（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出A（0，c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得$\frac{1}{2}$•c•2c=4，解得c=2，接着把C（2，0）代入y=ax²+2可求出a的值；
（2）如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+t+2，再把C（2，0）代入得-$\frac{1}{2}$（2-t）²+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形；
（3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2$\sqrt{21}$，于是可得Q点坐标为（6，2$\sqrt{21}$）；当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到（m-10）²+（m+2）²=10²，解方程求出m的值即可得到Q点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+c（a≠0）与y轴交于点A，
∴A（0，c），则OA=c，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=c，
∴$\frac{1}{2}$•c•2c=4，解得c=2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入y=ax²+2得4a+2=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，2）、B（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式为y=x+2，
设F（t，t+2），
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，
∴平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+t+2，
把C（2，0）代入得-$\frac{1}{2}$（2-t）²+t+2=0，解得t₁=0（舍去），t₂=6，
∴平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8，
∴F（6，8），
∴OF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
令y=0，-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8=0，解得x₁=2，x₂=10，
∴OE=10，
∴OE=OF，
∴△OEF为等腰三角形；
（3）存在．点Q的位置分两种情形．
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在x轴上方时，如图2，
∵∠EQP=90°，EP=EP，
∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，
而HE=10-6=4，
∴QH=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
此时Q点坐标为（6，2$\sqrt{21}$）；

当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，
在Rt△PQK中，QK=$\sqrt{{PQ}^{2}-P{K}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，
∵∠PKQ=∠QHE=90°，
∴△PKQ∽△QHE，
∴$\frac{PK}{QH}=\frac{QK}{HE}$，∴$\frac{6}{QH}=\frac{8}{4}$，解得QH=3，
∴Q（6，3）．
情形二、点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，
当x=10时，y=x+2=12，∴Q（10，12）．

当QE=OE=10时，如图5，
过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N．
设Q的坐标为为（x，x+2），∴MQ=x，QN=10-x，EN=x+2，
在Rt△QEN中，有QE²=QN²+EN²，即10²=（10-x）²+（x+2）²，解得x=4±$\sqrt{14}$，
当x=4+$\sqrt{14}$时，如图5，y=x+2=6+$\sqrt{14}$，∴Q（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$），
当x=4-$\sqrt{14}$时，如图5，y=x+2=6-$\sqrt{14}$，∴Q（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），
综上所述，Q点的坐标为（6，2$\sqrt{21}$）或（6，3）或（10，12）或（4+$\sqrt{14}$，6+$\sqrt{14}$）或（4-$\sqrt{14}$，6-$\sqrt{14}$），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数平移的规律和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式．