Question

如图①，将量角器与等腰直角△ABC纸片放置成轴对称图形，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE=5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为（　　）

• A、8+3

  2

• B、8+6

  2

• C、4+6

  2

• D、16+6

  2

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,切线的性质

专题：

分析：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=45°，设AB为2x，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD=x，而CE=5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，由此得到半圆的半径为x-5，OC=x-2，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，
连接OM，
则OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依题意知道∠DCB=45°，
设AB为2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=BD=x，
而CE=5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，
∴半圆的半径为x-5，OC=x-2，
∴sin∠DCB=

OM

CO

=

2

2

，
∴

x-5

x-2

=

2

2

，
∴x=

10-2 2

2- 2

，
∴AB=2x=2×

10-2 2

2- 2

=16+6

2

（cm）．
故选：D．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．