Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，

AC

=2

AB

，tan∠ABC=

2

2

，求tan∠C的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：

分析：过点A作AN⊥BC于点N，截取NM=BN，连接AM，求出∠ABC=2∠ACB，AM=CM，根据tan∠ABC=

2

2

=

AN

BN

，设AN=

2

a，BN=2a，求出AM=AB=

6

a，CM=AM=

6

a，CN=2a+

6

a=（2+

6

）a，解直角三角形即可得出答案．

解答：解：过点A作AN⊥BC于点N，截取NM=BN，连接AM，
则AM=AB，
所以∠ABC=∠AMB，
∵

AC

=2

AB

，
∴∠ABC=2∠ACB，
∴∠AMB=2∠ACB，
∵∠AMB=∠ACB+∠CAM，
∴∠ACB=∠CAM，
∴AM=CM，
∵tan∠ABC=

2

2

=

AN

BN

，
∴设AN=

2

a，BN=2a，
∴AM=AB=

( 2 a)2+(2a)2

=

6

a，CM=AM=

6

a，
∴CN=2a+

6

a=（2+

6

）a，
∴tan∠C=

AN

CN

=

2 a

(2+ 6 )a

=

3

-

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的应用，解此题的关键是能构造直角三角形，有一定的难度．