Question

9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=2，BD=6，将△AOD沿AD翻折得到△AED，延长EA交BD于点F，交BC于点G．连接OG，则△FOG的面积是$\frac{9}{40}$．

Answer 1

分析 作AH⊥CD于H，GN⊥AC于N．思想利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形的两个面积公式求出AH，利用相似三角形求出GN、AN、OF即可解决问题．

解答 解：作AH⊥CD于H，GN⊥AC于N．
∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，OA=OC=1，OB=OD=3，
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{1}{2}$•AC•BD=CD•AH，
∴AH=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∵∠CAG+2∠DAC=180°，∠ADC+2∠DAC=180°，
∴∠CAG=∠ADC，
∵∠ACG=∠ACD=∠CAD，
∠AGC=∠ACG，
∴AG=AC=2，
∵∠ANG=∠AHD，
∴△AGN∽△DAH，
∴$\frac{GN}{AH}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN}{DH}$，
∴GN=$\frac{6}{5}$，AN=$\frac{8}{5}$，
∵OF∥GN，
∴$\frac{OF}{GN}$=$\frac{AO}{AN}$，
∴OF=$\frac{3}{4}$，
∴S_△OFG=$\frac{1}{2}$•OF•ON=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{40}$．
故答案为$\frac{9}{40}$．

点评 本题考查菱形的性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．