Question

18．如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．
（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，BE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

点评 本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线性质等知识，正确得出四边形DEBF为平行四边形是解题关键，属于中考常考题型．