Question

17．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（2$\sqrt{5}$+2，4）或（12，4）．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=4$\sqrt{5}$，根据三角形中位线的性质得到AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2$\sqrt{5}$，①当∠APB=90°时，根据直角三角形的性质得到PN=AN=2$\sqrt{5}$，于是得到P（2$\sqrt{5}$+2，4），②当∠ABP=90°时，如图，过P作PC⊥x轴于C，根据相似三角形的性质得到BP=AB=4$\sqrt{5}$，根据勾股定理得到PN=2$\sqrt{30}$，求得P（2$\sqrt{30}$+2，4）．

解答 解：∵点A（0，8），点B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∵点M，N分别是OA，AB的中点，
∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2$\sqrt{5}$，
①当∠APB=90°时，
∵AN=BN，
∴PN=AN=2$\sqrt{5}$，
∴PM=MN+PN=2$\sqrt{5}$+2，
∴P（2$\sqrt{5}$+2，4），
②当∠ABP=90°时，如图，
过P作PC⊥x轴于C，
则△ABO∽△BPC，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{OB}{PC}$=$\frac{4}{4}$=1，
∴BP=AB=4$\sqrt{5}$，
∴PC=OB=4，
∴BC=8，
∴PM=OC=4+8=12，
∴P（12，4），
故答案为：（2$\sqrt{5}$+2，4）或（12，4）．

点评 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．