Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2

3

，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定与性质

专题：几何综合题,开放型

分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．
（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：（1）证明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD   BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，

BC=DC ∠BCA=∠DCA CF=CF

，
∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是轴对称图形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2

3

，BD=2，
∴OA=

3

，OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

( 3 )2+12

=2，
∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．